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By Heinz Junek

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1 (Approximation von eX durch Polynome): FUr jedes x eX = lim (I n~ -x monoton wachsend. Beweis: Wir Ubergehen den Nachweis der Monotonie und Beschranktheit, der wiederum durch geschickte Umformungen und Anwendung der Bemoullischen Ungleichung gefUhrt werden kann, und wenden uns dem Nachweis der Wertverlaufsgleichheit der Funktionen f(x) = lim (I n~ 0 rational. FUr be- q liebiges kEN" setzen wir m = kq und n = kp.

2b). 2: Die Funktionen sin und cos sind auf R stetig. Beweis: Es sei eine beliebige konvergente Foige Xn ~ a gegeben. lc) folgt die Abschiitzung Isinx n -sina 1= 21 sin x n2-a ·cos x n2+a I~ 21 sin x n2-a I~ 21 x n2-a I~ o. • In vielen theoretischen Untersuchungen ist die folgende aquivalente Fassung des Stetigkeitsbegriffs zweckmiiBiger. 3 (c-£>:'Definition der Stetigkeit): Eine Funktionfaus R in R ist genau dann stetig in a E Olf), wenn es zujedem Fehler c > 0 eine Abweichung 8= O{c, a) > 0 so gibt, daB aus x E Olf) und I x - a 1< 8 stets If(x) - f(a) I < c folgt.

Beweis: Jede absolut konvergente Reihe erfiillt das Cauchy-Kriterium n+m n+m ~>k :s; Llakl~ 0 fUr n ~ 00 und ist daher konvergent. k=n k=n - Warnung: Es gibt konvergente Reihen, die nieht absolut konvergent sind. 6 ein solches Beispiel! 3 (Majorantenkriterium): Eine Reihe 'Eak ist genau dann absolut konvergent, wenn es eine konvergente Reihe 'Eck mit lakl :s; ck fUr (fast) aIle kEN gibt. Die Reihe 'Eck heiBt dann eine konvergente Majorante fUr 'Eak. Beweis: 1st 'Eak absolut konvergent, so ist 'Elakl selbst als Majorante geeignet.

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