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By Arthur Cayley

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Example text

Ist u in G superharmonisch, so ist auch PK u in G superharmonisch und PK u Ä u auf G. g; G/. 5 Das Perronverfahren Beweis. Die Eigenschaft PK u Ä u ist nur innerhalb K nachzuweisen, denn außerhalb K hat man ja PK u D u gesetzt. In K˚ ist PK u harmonisch und u ist dort nach Voraussetzung superharmonisch. Außerdem war u PK u D 0 auf @K. 26, dass u PK u 0 in K gilt. Es bleibt noch zu zeigen, dass PK u in G superharmonisch ist. In Punkten x0 … @K ist die Mittelwerteigenschaft trivial. Sei also x0 2 @K.

X/ oder x2G so ist u in G konstant. 4 Das Maximumprinzip für harmonische Funktionen 21 Beweis. Es sei x1 2 G, x1 ¤ x0 beliebig. Nach Voraussetzung ist G ein Gebiet, also (wegweise) zusammenhängend. Demnach gibt es eine Funktion ' mit den Eigenschaften ' W Œ0; 1 ! t // D M 8t 2 Œ0; sg: Wir zeigen nun, dass I D Œ0; 1 ist. x0 / D M ist, und da x1 2 G beliebig war, erhalten wir, dass u in G konstant ist. I ist nicht die leere Menge, denn nach Voraussetzung ist 0 2 I . I ist abgeschlossen, weil u stetig ist.

Wir benötigen im Folgenden zwei Bezeichnungen. g; G/ D v W G ! x/ Ä [email protected] g gilt. Wir stellen dazu zunächst einige Hilfssätze bereit. 25. xk / Punktfolge xk 2 G (k 2 N) mit xk ! 2 @G (k ! 1). Dann folgt: u 0 für jede 0 auf G. Beweis. x/ und zeigen, dass d 0 ist. xk / ! d für k ! 1. xk /k2N beschränkt. xkj /j 2N , xkj ! x0 (j ! 1), und x0 2 G. xkj / 0 gilt. x0 / ist. 21 auf G konstant. Damit folgt aber auch, dass u 0 in G ist. Man nehme irgendeine Folge, die gegen einen Randpunkt von G konvergiert.

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