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By Martin Goldstern

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Xn ) → AA , der jeder Variable xk die k-te Projektion πkn zuordnet. ϕ / AAn www www Ea w ϕa www ww&  T(x1 , . . 7 Anmerkung. h. eine Funktion von An nach A. Sei a ∈ An . Dann k¨onnen wir ϕ(t) an der Stelle a = (a1 , . . , an ) auswerten und erhalten ϕ(t)(a) = ϕa (t). Dies kann man mit Induktion nach Aufbau des Terms t zeigen; wir begn¨ ugen uns hier mit dem Induktionsanfang: Wenn t der Term xk ist, dann ist ϕ(t) = πkn , also ist ϕ(t)(a) = ak . Aber ϕa (xk ) ist (nach Definition) ebenfalls ak .

A∗n ◦ a∗n Ist (links) ai aj = ak so ist (rechts) a∗i ◦ a∗j = a∗k . Vom Standpunkt der Algebra ist daher ein Isomorphismus lediglich eine Umbezeichnung“. Isomorphe Algebren sind als gleich zu ” ” betrachten“. Algebraische Eigenschaften sind solche, die bei Isomorphismen erhalten bleiben. So sind etwa alle Gesetze algebraische Eigenschaften, da sie nach obiger Anmerkung sogar bei Epimorphismen erhalten bleiben. Oft ist es m¨ oglich, algebraische Strukturen bis auf Isomorphie“ zu charakterisieren.

Sei N der Kern von f , und sei k : G → G/N die kanonische Abbildung g → gN . Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus h : G/N → H mit h ◦ k = f . h. Nebenklasse von N in G), und h bildet diese Nebenklasse auf y ab. 38 Satz. Seien G, H1 , H2 Gruppen, f1 : G → H1 und f2 : G → H2 Epimorphismen, mit Kernen N1 und N2 . Dann gilt N1 ⊆ N2 genau dann, wenn es einen Homomorphismus (oder sogar: Epimorphismus) h : H1 → H2 gibt mit h ◦ f1 = f2 . H1 ≃ G/N1 G H2 ≃ G/N2 Beweis. Die Richtung ⇐“ ist klar.

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